CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀO GIẢI TOÁN

I. Ứng dụng hệ phương trình để giải một số bài toán về hàm số:
Thí dụ 1.Tìm phương trình đường thẳng (d) , biết (d) đi qua hai điểm A(2; 5) ; B(–1; –4);
Giải: A, B có hoành độ và tung độ khác nhau nên phương trình đường thẳng (d) có dạng
y = ax + b
Vì đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(2; 5) và B(–1; –4) nên ta có hệ phương trình:


Ta có:


Vậy phương trình của (d) : y = 3 x –1
Thí dụ 1. Cho ba đường thẳng:


Xác định m để ba đường thẳng (d1); (d2); d3) đồng quy.
Giải: Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:



Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là A(–1; –1)
Ta có: Ba đường thẳng (d1); (d2); d3) đồng quy



. Vậy m = 3 thì ba đường thẳng (d1); (d2) ; (d3) đồng quy
Thí dụ 3 : xác định hàm số f(x), biết hàm số này xác định với mọi số thực x và thỏa mãn:


Giải: Theo đầu bài ta có:

Thay x bởi
x ta được:



u ;
= v từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:



Với
ta được :


Hàm số
tìm được thỏa mãn điều kiện của đầu bài.
Vậy

.
II. Ứng dụng hệ phương trình để tính giá trị của biểu thức.

Giải:
Đặt

Suy ra a > 0; b > 0 ; a4 + b4 = 62


4a3 b + 6a2b2 +4ab3 = 4ab( a2 +b2) +6a2b2
= 4ab[(a+b)2 - 2ab] +6a2b2
= 4(a + b)2 – 2
Ta có hệ phương trình :


Cộng từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được.
a4 +b4 +4a3 b + 6a2b2 +4ab3 =4(a+b)2 +60
(a + b)4 - 4(a + b)2 – 60 = 0

A4 – 4A2 – 60 = 0

( A2 - 10 ) (A2 + 6 ) =0

A2 – 10 = 0 (vì A2 +6 > 0 với mọi A).

A2 =10

( vì A = a+b > 0)
Vậy
.


Giải:
Trước tiên ta giải hệ phương trình :


Từ phương trình (1) ta có:


Từ phương trình (2) ta được:


Từ (3) và (4) suy ra :

Thay
vào (1) ta được : y = 1.
Vậy:

III.Ứng dụng hệ phương trình để giải phương trình.


Giải:
Đặt: y = -1 + 2x3 .Ta có hệ phương trình.


Trừ từng vế của phương trình (1) cho Phương (2) ta được:


Với x = y , từ phương trình (1) ta được :
x – 2x3 = - 1
2x3 – x – 1= 0

( x – 1)(2x2 + 2x +1) = 0



Giải: Đặt

Ta có hệ phương trình:



Vậy x,y là nghiệm của phương trình
X2 – 11X +30 = 0

Hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là (5; 6); (6; 5). Nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x =5 ; x = 6.


Giải:
Điều kiện:




(Vì ( x2 – x +10 =
))


Đặt

Với điều kiện:

Ta có hệ phương trình:






(thỏa mãn điều kiện ).




( thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = –2;
x = 3
IV. Ứng dụng của hệ phương trình để xét hai phương trình bậc hai có nghiệm chung.
Thí dụ 9: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung.
2x2 + mx – 1 và mx2 – x + 2
Giải:
Các phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :


Đặt x2 =